由一道数字题引出的

在家帮助孩子做作业时遇到这么一道题：有一篮苹果，8个人分余5个，9个人分余3个，问一共有几个苹果？她自己在一番琢磨后很快有了答案，21个。我问她是怎么算的，她说不上来。我知道她一定是一个数一个数试出来的。这是在数值比较小时当然可以，数值大了就不适合了。于是我在想有没有一个公式可以直接算出来得数，这当然不是要她一个小学生来了解的，而是我想到了另一个需要它的领域。
在中医学中许多地方涉及到干支，如五运六气子午流注灵龟八法等。要研究中国古代传统文化，尤其是历法及数术，也离不开天干地支。天干地支配合共六十个组合，每个组合对应一个序数，如甲子是1，乙丑是2等等，这些会经常遇到。每个干支对应什么序数，若单凭记忆或查书都是很不方便的。所以很早我就想有没有一个公式可以直接算出来。在计算机普及的今天，我们要把某种应用编成程序，也需要一种可以计算出的方法。
把这个问题简化成一个纯数学命题，就是：有物不知数，a个人分余m，b个人分余n，问物有几何？乍一看，这个问题和中国古代传统算术中的一个典型命题“物不知数”类似：有物不知数，每人a个余m，每人b个余n，问几人几物？其实这两个命题是不同的，这个题中人数虽不知，但是固定的。只是每个人的苹果数是不同的，因而余数也不同。上一道题中，人数虽知却不固定，每人苹果数也不固定。
先看传统命题：有物不知数，每人a个余m，每人b个余n，问几人几物？设人数为x，则有方程：ax+m=A，bx+n=A。解之，得：x=(n-m)/(a-b)，A=(an-bm)/(a-b)。若a、b差1，命题中往往如此，设a-b=1，则x=n-m，A=an-bm。命题中往往每人a个差m，则m就用负数。如每人8个余4，每人9个差3，则人数x=4-(-3)=7，A=9*4-8*(-3)=60。
而在涉及干支计算的命题是：有物不知数，a个人分余m，b个人分余n，问物有几何？设物数为A，a人分得物x，by用方程表示就是：ax+m=A，by+n=A。仔细比较和上面那个式子，就会发现二者的不同。这个方程两个未知数x和y，而那个方程只有一个未知数x。
解这个方程，ax+m=A，by+n=A。这其实有三个未知数，x，y，A。显然只凭这两个式子是不够的。但是在一般命题中这几个数都是整数，x、y可正可负，a、b、A则是正整数。根据这一特点，我们就可以用一个小小技巧。因为x、y虽不同，但差别不会太大，且一定是整数。我们假定x-y=z，则z是整数。
如此，y=x-z。代入方程ax+m=by+n=A中，有ax+m=b(x-z)+n。进一步，ax-bx=n-m-bz，x=(n-m)/(a-b)-bz/(a-b)。再进一步，代入ax+m=A中，A=a[(n-m)/(a-b)-bz/(a-b)]+m=(an-am)/(a-b)-abz/(a-b)+m=(an-am)/(a-b)-abz/(a-b)+m(a-b)/(a-b)=(an-am+am-bm)/(a-b)-abz/(a-b)=(an-bm)/(a-b)-ab/(a-b)*z。
这就是这个问题的科学答案。A=(an-bm)/(a-b)-ab/(a-b)*z。其中z为整数，根据z取值的不同，A就有不用的得数。也就是说这个问题有许多答案，如果z=0，即x=y，就是又回到前面那个传统问题A=(an-bm)/(a-b)。如果z=1，即x-y=1，A=(an-bm)/(a-b)-ab/(a-b)。我们要求得许多的解，就不断加或减ab/(a-b)的整倍数。最终得数一般要求是求最小的正整数，如果(an-bm)/(a-b)大于零，一般就是它了。否则就加上一个ab/(a-b)。如果(an-bm)/(a-b)大于ab/(a-b)，就减去一个ab/(a-b)。若a、b差1，命题中往往如此，设a-b=1，A=an-bm+ab*z。
在干支序数的计算中，a=10，b=12，A的取值在1~60之间。套在公式中为，A=(12m-10n)/2-12*10/2*z=(6m-5n)/-60*z。m是天干序数，n是地支序数，则干支序数是6m-5n，如果得数是负数，就加上60。比如庚辰，庚为7，辰为5，则庚辰为6*7-5*5=17。又如乙巳，乙为2，巳为6，则乙巳为6*2-5*6=-18，小于0，加60，为42。
干支序数计算公式的得出，使得干支序数可以脱口而出，减少了在工作中的不便，对于中医天文历算数术工作是一个很大的帮助，尤其是对于研究计算机编程更是不可缺少的。